Закон Харди-Вайнберга

В основе популяционной генетики, изучающей генотипы живых организмов без использования скрещиваний, лежит закон Харди-Вайнберга. Его сформулировали независимо друг от друга двое ученых в 1908 г. Данный закон, который также называют равновесием и уравнением, соблюдается только при определенных идеальных условиях.

Уравнение Харди-Вайнберга представляет собой математическую модель, объясняющую, каким образом в генофонде популяции сохраняется генетическое равновесие.

Формулировка закона Харди-Вайнберга

Частота генотипов по определенному гену в популяции остается постоянной в ряду поколений и соответствует уравнению p² + 2pq + q² = 1, где

• p² — частота как доля от единицы гомозигот по одному аллелю (например, доминантному – AA),
• q² — частота гомозигот по другому аллелю (aa),
• 2pq — частота гетерозигот (Aa),
• p — частота в популяции первого аллеля (A),
• q — частота второго аллеля (a).

При этом p + q = 1, или A + a = 1.

Также из законов математики следует

(p + q)² = p² + 2pq + q²

Формула квадрата двучлена используется для одного исследуемого гена, имеющего всего два аллеля.

Может встречаться формулировка не по отношению к генотипам, а по отношению к аллелям: частоты доминантного и рецессивного аллелей в популяции будут оставаться постоянными в ряду поколений при соблюдении ряда условий. То есть значений p и q не будут изменяться из поколения в поколение.

Таким образом, закон Харди-Вайнберга позволяет рассчитать частоты аллелей и генотипов в популяции, что является важной ее характеристикой, так как именно популяция рассматривается как единица эволюции.

Следует оговорить, что здесь (в законе Харди-Вайберга), говоря о генотипах, имеют в виду не все гены особей популяции, а лишь исследуемый обычно один ген (но все его аллели, имеющиеся в популяции).

Условия соблюдения закона Харди-Вайнберга

Закон Харди-Вайнберга в полной мере соблюдается при выполнении следующих условий:

• Популяция должна иметь большой размер, так как в маленькой популяции случайная гибель определенных генотипов обычно меняет соотношение частот аллелей.
• Особи не должны выбирать брачного партнера в зависимости от генотипа по исследуемому гену.
• Миграции особей из популяции и в нее должны отсутствовать.
• В отношении изучаемого гена (его аллелей) не должен действовать естественный отбор. Другими словами, все генотипы по исследуемому гену должны быть одинаково плодовитыми.
• Не должно возникать новых мутаций исследуемого гена.

Так, если в популяции гомозиготы по рецессивному аллелю имеют пониженную жизнеспособность или не выбираются брачными партнерами, то в отношении такого гена закон Харди-Вайнберга не выполняется.

Таким образом, частота аллелей в популяции остается постоянной, если скрещивание особей случайно, и на популяцию не действуют каких-либо внешние факторы.

Отклонение от закона Харди-Вайнберга (это значит, что в популяции частота аллелей гена меняется) говорит о том, что на популяцию действует какой-либо фактор эволюции. Однако в больших популяциях отклонения бывают незначительными, если рассматривать краткосрочный период времени. Данный факт позволяет использовать закон для проведения расчетов. С другой стороны, в эволюционном масштабе динамика генофонда популяции отражает то, как эволюция протекает на генетическом уровне.

Применение уравнения Харди-Вайнберга

В большинстве случаев частоту аллелей и генотипов вычисляют, взяв за основу частоту гомозиготных особей по рецессивному аллелю. Это единственный генотип, который однозначно распознается по фенотипическому проявлению. Тогда как отличить доминантные гомозиготы от гетерозигот часто не представляется возможным, поэтому их долю вычисляют, пользуясь уравнением Харди-Вайнберга.

Допустим, в гипотетической популяции людей присутствуют только два аллеля цвета глаз — карий и голубой. Карий цвет определяется доминантным A аллелем гена, голубой — рецессивным a. Пусть кареглазых людей будет 75% (или в долях 0,75), а голубоглазых 25% (0,25). Требуется определить в популяции

1. долю гетерозигот Aa и доминантных гомозигот AA,
2. частоту аллелей A и a.

Если доля рецессивных гомозигот составляет 0,25, то доля рецессивного аллеля находится как квадратный корень из этого числа (исходя из формулы p² + 2pq + q² = 1, где q² — частота рецессивных гомозигот, а q — частота рецессивного аллеля), то есть будет 0,5 (или 50%). Поскольку в гипотетической популяции только два аллеля, сумма их долей составит единицу: p + q = 1. Отсюда находим долю доминантного аллеля: p = 1 - 0,5 = 0,5. Таким образом, частота обоих аллелей составляет по 50%. Мы ответили на второй вопрос.

Частота гетерозигот составляет 2pq. В данном случае 2 * 0,5 * 0,5 = 0,5. Отсюда следует, что из 75% кареглазых людей 50% являются гетерозиготами. Тогда на долю доминантных гомозигот остается 25%. Мы ответили на первый вопрос задачи.

Рассмотрим другой пример использования уравнения Харди-Вайнберга. Такое заболевание человека как муковисцидоз встречается только у рецессивных гомозигот. Частота заболевания составляет примерно 1 больной на 2500 человек. Это значит, что 4 человека из 10000 являются гомозиготами, что составляет в долях единицы 0,0004. Таким образом, q² = 0,0004. Извлекая квадратный корень, находим частоту рецессивного аллеля: q = 0,02 (или 2 %). Частота доминантного аллеля будет равна p = 1 - 0,02 = 0,98. Частота гетерозигот: 2pq = 2 · 0,98 · 0,02 = 0,039 (или 3,9 %). Значение частоты гетерозигот позволяет оценить количество патогенных генов, находящихся в скрытом состоянии.

Такие вычисления показывают, что, несмотря на малое число особей с гомозиготным рецессивным генотипом, частота рецессивного аллеля в популяциях достаточно велика за счет его нахождения в генотипах гетерозигот (носителей).

Рассмотрим еще один пример. Допустим, в гипотетической дикой популяции гороха 30% (в долях: 0,3) растений имеют зеленые семяна, а 70% (0,7) – желтые. Требуется определить соотношение аллелей и генотипов в этой популяции. Используя закон Харди-Вайнберга, задачу будем решать по этапам.

1. Желтые семена образуются как у доминантных гомозигот (AA), так и у гетерозигот (Aa). Определить точно, сколько одних и сколько других в 70%-ах, не представляется возможным. Однако все 30% растений с зелеными семенами — это однозначно рецессивные гомозиготы (aa).

2. В уравнении Харди-Вайнберга генотип aa соответствует одночлену q². Чтобы найти частоту аллеля a, надо извлечь из частоты рецессивного генотипа корень. Значение q есть частота рецессивного аллеля в популяции. Квадратный корень из 0,3 дает приблизительно 0,55. Таким образом, доля рецессивного аллеля, отвечающего за зеленый цвет семян, в популяции составляет примерно 55%.

3. Сумма частот обоих аллелей равна единице (или 100%). Пользуясь уравнением p + q = 1 и известным значением q, находим p, которое будет равно 0,45 (или 45% ). То есть доля доминантного аллеля, отвечающего за желтый цвет семян, в популяции составляет 0,45. Это значение p.

4. Зная значение p, можно найти p², т. е. долю доминантных гомозигот (AA) в популяции. Возведя 0,45 в квадрат, получим примерно 0,2. Другими словами, 20% растений популяции являются доминантными гомозиготами по исследуемым генам.

5. Долю гетерозигот (Aa) можно найти несколькими способами. Так как известна общая доля растений с доминантным признаком (0,7), то, зная долю доминантных гомозигот (0,2), находим частоту гетерозигот (0,7 - 0,2 = 0,5). Другие варианты решения этой части задачи — подставлять известные данные в уравнение Харди-Вайнберга. Нам известны p² (0,2) и q² (0,3), получаем 0,2 + 2pq + 0,3 = 1 или 2pq = 1 - 0,2 - 0,3 = 0,5. Можно подставить в уравнение значение частот не генотипов, а аллелей: 0,45² + 2pq + 0,55² = 1. Вычисления дадут те же 0,5.

Таким образом, при частоте рецессивного аллеля, равной 0,55, доля гетерозиготных особей (Aa) составляет 0,5 или 50%, а доминантных гомозигот (AA) — 20%.

Объяснение математического выражения закона Харди-Вайнберга

Можно задаться вопросом, почему математическое выражение закона Харди-Вайнберга представляет собой формулу квадрата двучлена? Действительно,

(p + q)² = p² + 2pq + q².

Почему если p и q в ней обозначают аллели, то p², q² и 2pq — это генотипы? В связи с чем было так определено? Почему сумму частот аллелей надо возвести в квадрат, чтобы получить распределение частот генотипов?

На самом деле все упирается в законы статистики, которые не так просто понять. Рассмотрим простейший случай. Допустим, заранее известно, что в популяции частоты аллелей равны друг другу, т. е. составляют по 0,5. А количество особей в популяции 1000 индивидов, и каждый образует по две гаметы. Поскольку частоты аллелей равны, то в среднем 1000 гамет будут нести доминантный ген, а 1000 рецессивный. Пусть все гаметы могут встретиться случайным образом. Тогда примерно

• 250 гамет с доминантным геном будут оплодотворены другими 250-ю гаметами с доминантным геном;
• 250 гамет с доминантным геном будут оплодотворены 250-ю гаметами с рецессивным геном;
• 250 гамет с рецессивным геном будут оплодотворены оставшимися 250-ю гаметами с доминантным геном;
• 250 гамет с рецессивным геном будут оплодотворены другими 250-ю гаметами с рецессивным геном.

В итоге получается 250 доминантных гомозигот, 500 гетерозигот и 250 рецессивных гомозигот. Что укладывается в выражение (0,5 + 0,5)² = 0,5² + 0,5 · 0,5 · 2 + 0,5² = 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1.

Закон Харди-Вайнберга в случае множественного аллелизма

Уравнение Харди-Вайнберга применяется и для случаев множественного аллелизма. При этом для определения частот генотипов в квадрат возводится многочлен из частот аллелей.

Если существует три аллеля гена (a1, a2, a3), то их частоты (p, q, r) в сумме будут давать единицу: p + q + r = 1. Если возвести уравнение в квадрат, то получим следующее распределение частот генотипов:

(p + q + r)² = p² + q² + r² + 2pq + 2pr + 2qr = 1

Здесь p², q², r² — это частоты гомозигот: соответственно a₁a₁, a₂a₂, a₃a₃. Произведения 2pq, 2pr, 2qr — частоты гетерозиготных генотипов: a₁a₂, a₁a₃, a₂a₃.